קריטריוני הסהר והשחזור הבבלי

*הנספח הזה סוגר את שתי הנקודות שנספח A הותיר פתוחות: הקריטריון לראותו של סהר הירח הראשון נבנה כאן מן היסוד ויושם, וכלל תחילת ניסן הבבלי (Parker & Dubberstein) נבדק בחישוב חוזר מול עוגנו שלו. הוא עושה את החוליה הצרה ביותר של הספר — איזה ערב נושא את הסהר הראשון, ומכאן איזה יום הוא 1 בניסן — קשה ככל שהאסטרונומיה מסוגלת לעשותה. כל הגדלים ניתנים לשחזור בתסריט פייתון קטן (Python 3 עם ספריית ephem).*

C.0 · קריטריון הראות, ומדוע הוא נחוץ

הלוח כולו תלוי בתצפית אחת: באיזה ערב נראה הסהר הצעיר לראשונה בעין בלתי מזוינת? באותו ערב מתחיל 1 בניסן; 13 יום לאחר מכן חל 14 בניסן, יום המיתה. הספר טוען (פרק 7) שהסהר של 11 באפריל 31 לספירה מונח "הרחק מעל כל סף שפורסם". הנספח הזה בוחן זאת, לא בכלל אצבע אלא במודל המודרני המצוטט ביותר.

המודל. בשנת 1997 הביא B. D. Yallop (A method for predicting the first sighting of the new crescent moon, HM Nautical Almanac Office, NAO Technical Note 69) את קריטריוניהם הישנים יותר של Fotheringham, Maunder, Schoch ו־Bruin לכלל גודל אחד בר בחינה, q, המחושב ב"רגע הטוב ביותר" — הרגע שבדרך שבין שקיעת השמש לשקיעת הירח שבו הסיכוי לתצפית הוא הגדול ביותר (שקיעת השמש בתוספת ארבע תשיעיות מן הזמן שבין שקיעת השמש לשקיעת הירח). הגודל מצרף שתי זוויות ואת רוחב הסהר:

- ARCV — גובה הירח מעל השמש ("קשת הראייה"); - ARCL — הזווית ירח–שמש בשמים ("קשת האור", הקובעת את המופע); - W — רוחב הסהר המואר בדקות קשת, W = s·(1 − cos ARCL) כאשר s הוא מחצית הקוטר הנראה של הירח;

מסוכם כ־q = [ARCV − (11.8371 − 6.3226 W + 0.7319 W² − 0.1018 W³)] / 10.

אזורי Yallop. q > +0.216: הסהר נראה בקלות בעין בלתי מזוינת (A). +0.216 עד −0.014: נראה בתנאים נוחים (B). −0.014 עד −0.160: תחום גבול, ייתכן שדרוש אמצעי אופטי (C). נמוך מזה: בלתי סביר עד בלתי אפשרי בלא טלסקופ (D–F). 1 בניסן המתחיל בערב מאזור A הוא קשה ככל שתצפית עתיקה מסוגלת להיות.

כלים ומקום. מיקומי הירח והשמש חושבו טופוצנטרית עבור ירושלים (31.78° צפון, 35.24° מזרח, 754 מ׳) באמצעות PyEphem, אותה ספרייה שבנספח A. התאריכים נתונים ביוליאני פרולפטי. [מחושב]

C.1 · הסהר המכריע: שני ערבי אפריל 31 לספירה

ירח מרץ של 31 לספירה (היצמדות ב־11 במרץ) נופל 11 יום לפני התקופה (נמדד להיצמדות; סהרו הראשון ~תשעה ימים) והוא מוקדם מדי כירח ניסן (פרק 8); ניסן נדחק אל מחזור הירח הבא, שהיצמדותו חלה ב־10 באפריל, סמוך לאמצע היום. השאלה צרה אפוא: באיזה ערב עומד סהרו לראשונה נראה? [מחושב]

ערב 10 באפריל נשלל — הסהר אינו בן חמש שעות אף, עומד על האופק ושוקע ארבע דקות לאחר השמש: בלתי ניתן לתצפית. ערב 11 באפריל נושא סהר בן כ־30 שעות, למעלה מ־11 מעלות גובה, השוקע שעה תמימה לאחר השמש, עם q = +0.32 — עמוק בתוך אזור A. הקפיצה שבין שני הערבים עצומה; אין ספק איזה משניהם הוא הראשון. אם כן: 1 בניסן מתחיל בערב 11 באפריל, ו־14 בניסן חל ביום רביעי, 25 באפריל. זהו גרעינו האסטרונומי של הספר, נבדק כאן בחישוב חוזר עצמאי — לא כלל אצבע, אלא מודל המניח את הסהר הרחק בתוך המחלקה הנראית בקלות הרבה ביותר.

C.2 · שלוש שנות המרוץ אצל הסף

הצב את ערבי הסהר הראשון של שלוש המועמדות זו לצד זו. חולשתו של חישוב לוח נעוצה תמיד במקרי הגבול — שנים שבהן עומד הסהר על סף הראות, כך שיום אחד לכאן או לכאן מסיט את החודש כולו. [מחושב]

ונספח זה אינו חייב לעמוד לבדו, שכן יש חישוב שני עצמאי והוא בא מן הצד האחר של הוויכוח. Bradley Schaefer, שהיה אז ב־Goddard Space Flight Center, חישב ב־QJRAS 31 (1990) את נראותו של כל סהר צעיר מעל ירושלים עבור 26–36 לספירה במודל בהירות משלו — אפמרידות אחרות (אינטרפולציית Tuckerman), מועד הערכה אחר (40 דקות אחרי השקיעה במקום 4/9 × lag של Bruins), ומדד אחר. המדד שלו הוא R: הלוגריתם של היחס בין בהירות הירח לבין הבהירות המזערית הדרושה כדי להבחין בו על רקע שמי הדמדומים. R = 0 פירושו 50 אחוז סיכוי לראייה; ערך שלילי פירושו חיזוי של אי־נראות; R < 1 נקרא אצלו "difficult to spot" ו־R > 2 "easy visibility" (p. 58). והוא מוסיף לכך מדד מהימנות: DR, בקירוב סיגמא אחת, עם הכלל שהקריטריון שלו נתן ב־|R/DR| > 2.5 "correct predictions for all 201 observations".

13 ערבים הונחו כך זה לצד זה, ואין אף אחד שבו שני הסולמות סותרים זה את זה. יתרה מזו: הם מדרגים גם את הספק באותם מקומות עצמם. שני הערבים ש־Schaefer מכנה במפורש "not certain" — 23 במרץ 30 ו־30 במרץ 32 — נופלים כאן שניהם באזור C, אזור הגבול; היחיד אצלו שהוא "difficult וגם בלתי ודאי" (18 באפריל 33) נופל באזור B; ערביו הבלתי־נראים באזור F; ה"easy" שלו באזור A. [מחושב ומתועד — Schaefer (1990), טבלה I ב־p. 57 וההגדרות ב־p. 58, נקראו במקור בתצלום עמוד]

⛔ ומשפט אחד של Schaefer שייך לנספח זה משום שהוא חוזר על גבולו שלו. הוא מדפיס לכל שנה את ארבעת חודשי השמש הראשונים, והוא אומר מדוע: "because it is not clear which lunation was identified as Nisan, because of uncertainties in the equinox and intercalations" (p. 58). זו בדיוק ההגבלה ש־C.2 להלן מציב בעצמו: הסהר אומר מתי, כלל הלוח אומר איזה. המחשב השני והעצמאי מגיע לאותה הגבלה עצמה.

שני דברים מתבררים. ראשית: 31 לספירה עומדת הרחק מכל שוליים. סהרה אינו נראה בגבול אלא נראה ברווח (אזור A), והערב שלפניו בלתי נראה לחלוטין (אזור F) — נדנוד ה־±1 יום שהאסטרונומים מכירים בו במקרי גבול אינו נוגע ב־31 לספירה. שנית — וזה שייך לכאן ביושר: מודל הראות אינו מכריע איזה מחזור ירח הוא ניסן, אלא רק מתי מופיע כל סהר לראשונה. שיש ל־33 לספירה סהר מרץ הנראה ברווח (20 במרץ, אזור A) עושה את העניין חד דווקא: תחת כלל המתיר את ירח מרץ נופל 14 בניסן של 33 לספירה על ~3 באפריל ("יום השישי הטוב" של הקונצנזוס); תחת כלל הדוחה אותו משום ש־1 בניסן נופל לפני התקופה, נדחק ניסן אל ירח אפריל ו־14 בניסן נופל על ~2 במאי (פרק 8, פרק 15). הסהר אומר מתי; כלל הלוח אומר איזה — ואותו כלל, לא הנספח הזה, הוא החוליה הצרה ביותר.

C.3 · הכלל הבבלי, נבדק בחישוב חוזר מול עוגנו שלו

שמות החודשים היהודיים בבליים הם, והלוח הבבלי החזיק את 1 בניסנו לאחר תקופת האביב — כלל ש־Parker & Dubberstein (Babylonian Chronology 626 B.C.–A.D. 45) שחזרו במלואו למאות הללו, ואשר Sacha Stern מצטט מתוך טבלאותיהם (Calendar and Community, pp. 61–62). הכלל הזה ניתן לבחינה מול עוגן מתוארך אחד: החג האביבי שבו נמצא ויטליוס בירושלים ב־37 לספירה (Antiquitates 18.89–90, 120–124). דיוק מתחייב כאן, שכן קל לומר יותר מדי. יוספוס אינו מתארך את החג לשום יום בלוח; מה שהוא מספק הוא שהחג חל באפריל ולא במרץ — זמן המסע של בשורת מותו של טיבריוס אינו מתיר את מרץ. ה־19 באפריל בא מ־Parker & Dubberstein, לא מיוספוס. ושהחג היה הפסח — זו קריאה מפורשת: יוספוס כותב ἑορτῆς πατρίου, "חג האבות". [מפורש] [מתועד, Parker & Dubberstein; מחושב, השחזור] הכלל הבבלי הוא אחת משתי פרקטיקות מתועדות: במצרים, מאריסטובולוס ועד פילון, נפל הפסח היהודי בתקופה או סמוך לה, בממוצע חודש מוקדם יותר (Stern, ZPE 130, 2000, p. 171 n. 69). השחזור הזה בוחן את הכלל הבבלי; באיזו פרקטיקה נהגה ירושלים — אין הוא מכריע (פרק 8).

Parker & Dubberstein נותנים את 1 בניסנו של 37 לספירה ב־6 באפריל (טבלתם, p. 46). החישוב החוזר העצמאי מאשר זאת עד ליום: היצמדות אפריל של 37 לספירה חלה ב־4 באפריל, סהרה הנראה הראשון בערב 5 באפריל, כך ש־1 בניסנו מתחיל ב־6 באפריל — בדיוק תאריכם של Parker & Dubberstein. 13 יום הלאה נופל 14 בניסן על 19 באפריל, וזה בדיוק היום שאליו מגיע חגו המתוארך של יוספוס. הכלל עומד אפוא בבקרה הן מול הטבלה הבבלית והן מול העוגן העתיק. אך זו בקרה הכרחית ולא טיעון מבחין, ואל לו לספר לעשות מכאן יותר ממה שהוא: גם כלל התקופה המקל וגם הסדרה המוסטת של לנסר מגיעים עבור 37 לספירה לאותו 19 באפריל עצמו (פרק 8). העוגן מאשר שפסח בשלהי אפריל היה אפשרי; אין הוא בוחר בין השחזורים.

מיושם על שלוש שנות המרוץ נותן אותו כלל (מסוכם מנספח A.3):

תחת הכלל הזה שומרת 30 לספירה על יום השישי שלה, מגיעה 31 לספירה ליום רביעי, 25 באפריל, ומאבדת 33 לספירה את "יום השישי הטוב" שלה — השורד רק תחת כלל התקופה המקל. שתי יושרות שייכות לכאן, ושתיהן חותכות לצד הזה. ראשית: הכלל אינו שואב את סמכותו מעוגן 37 לספירה, שכן אותו עוגן אינו מבחין (ראה למעלה); הוא שואב אותה מן הנתונים היהודאיים בני המאה הראשונה שפרק 8 מודד — מעטים, וכנגד פרקטיקה נגדית מצרית מתועדת, כך שהכלל נותר הנחה לירושלים (לעיל; נספח D). שנית: ל־31 לספירה יש תחת הכלל העתיק האחר — כלל הקדמונים, התובע רק את החג לאחר התקופה — תוצאה שנייה: אז נשאר ירח מרץ עומד ו־14 בניסן נופל ביום שלישי, 27 במרץ. אף זה אינו יום שישי, ושם נעוצה האסימטריה עם 33 לספירה: אצל 33 לספירה מכריעה בחירת הכלל אם יש יום שישי, ואצל 31 לספירה רק איזה יום אמצע־שבוע יהיה (פרק 8, פרק 15).

C.4 · מה הנספח הזה אינו מספק

- המודל סטטיסטי, לא ערובה. אזוריו של Yallop מכוילים על מאות תצפיות, אך מצב האטמוספרה בערב אחד בשנת 31 אינו ניתן לידיעה. מה שהחישוב מספק אינו "הסהר נראה" אלא "הסהר היה מונח הרחק בתוך המחלקה הנראית כמעט תמיד" — והערב שלפניו הרחק מחוצה לה. עבור 31 לספירה המרווח גדול כל כך עד שאין אטמוספרה סבירה מהפכת אותו; עבור שנות הגבול האמיתיות (30 לספירה על השוליים) ההסתייגות הזאת ממשית. ועבור 31 לספירה יש קו שני מאחורי הראשון, שאינו חב דבר לשום מודל נראוּת: מכסת 30 הימים לחודש (פרק 7). עננות ב־11 באפריל, וגם ב־12 באפריל, מזיזה את 14 בניסן לכל היותר אל יום חמישי 26 באפריל — יום שישי היה תובע אדר ב׳ בן 31 ימים. [מחושב] - הסהר אינו מכריע את החודש. כפי ש־C.2 אומר: איזה מחזור ירח נושא את ניסן תלוי בכלל התקופה ובכלל השעורה (פרק 8), לא בראות לבדה. הנספח הזה מקשה את המחצית האחת (מתי מופיע הסהר); המחצית האחרת נותרת כלל לוח מתועד, לא מדידה. - טבלתם של Parker & Dubberstein אינה משוחזרת כאן. היא נסקרה במלואה לשנים 200 לפנה״ס–45 לספירה במהדורה הקריאה במכונה (נספח A.6); העוגן (1 בניסנו 37 לספירה = 6 באפריל) נבדק נוסף על כך בחישוב חוזר ונמצא נכון — בקרה הכרחית שעלתה יפה, לא יסוד עצמאי לכלל. - התיקונים הטופוצנטריים הם סטנדרטיים, לא מעודנים. הגובה, השבירה אצל האופק ומחצית הקוטר של הירח חושבו בערכי ברירת המחדל של הספרייה; מודל אופק מעודן יותר מסיט את q במאיות, לא בעשיריות — מעט מדי מכדי להוציא את 31 לספירה מאזור A.

שחזור. התסריט הוא `yallop_q.py` (Python 3 עם ספריית ephem, גרסה 4.2.1). הוא מחשב לכל ערב את ההיצמדות, שקיעת השמש, שקיעת הירח, הפיגור, הזמן המיטבי, ARCL, ARCV, W, q והאזור, והוא נושא דגלון `--verify` המעמיד את פלטו מול 14 מספרים המודפסים בנספח הזה: ה־q, גובה הירח, ARCL, הפיגור והאזור של 11 באפריל 31 לספירה; ה־q, הפיגור והאזור של 10 באפריל; האזור והפיגור של 13 במרץ; ה־q של 23 במרץ 30 לספירה ושל 20 במרץ 33 לספירה; והעוגן 1 בניסנו 37 לספירה = 6 באפריל, בצורת 4 באפריל אזור F, 5 באפריל אזור A. כל 14 משוחזרים.

⚠ הסתייגות אחת בעניין המוסכמה, ומקומה כאן ולא בהערת שוליים. נוסחת Yallop ניתנת לחישוב כאשר ARCV ו־ARCL נלקחים כל אחד גאוצנטרית או טופוצנטרית, וארבעת הצירופים נותנים עבור 11 באפריל 31 לספירה q = +0.317, +0.287, +0.408 ו־+0.377. מספריו של הנספח הזה הולכים אחר הראשון: ARCV טופוצנטרי, ARCL גאוצנטרי. אותו צירוף הוא היחיד הסוגר את שלוש הגדלים המודפסים בבת אחת — q = 0.32, ARCL = 13.7 וגובה ירח של 11.4°. הוא נקבע מתוך אותה הסכמה, ולא מתוך טקסטו של Yallop עצמו, שלא נבדק במקור. השחזור הוא אפוא בדיקת עקיבות פנימית: הוא מראה שהתסריט עושה את מה שעשה הנספח הזה, לא שאחד מן השניים הוא מה שהתכוון Yallop. [מחושב; המוסכמה מפורשת מתוך ההסכמה עם המספרים המודפסים]

אותה הסתייגות עצמה נושאת תוצאה הראויה להיאמר. בערב 12 במרץ 31 לספירה נותנת המוסכמה של הנספח הזה q = −0.313, אזור F; שתי הווריאציות הגאוצנטריות נותנות −0.219 (אזור D) ו־−0.240 (אזור E). עיבודים קודמים של החומר הזה ציטטו את המספרים הגאוצנטריים. תחת המוסכמה שהנספח נוקט למעשה, 12 במרץ נופל באזור F. המספרים שנמשכו רשומים בתסריט כדי שיישארו גלויים.

הכיול, ומה שהוא עולה לנספח הזה

שחזור מספרים מודפסים מראה רק שתסריט עושה את מה שעשה הנספח. על כן הורצה רקימת החישוב מול תצפיות שמעולם לא ראתה: שלוש תצפיות שיא העולם של הסהר בעין בלתי מזוינת שבידי International Astronomical Center, המפרסם לכל אחת מהן את המקום, ההיצמדות, הפיגור ואת ARCV, ARCL והאזימוט היחסי שלו עצמו.

הרקימה עומדת במבחן. עבור שיא טנסי של 25 בפברואר 1990 נותן התסריט ARCV 7.53° מול 7.60° המפורסמים, אזימוט יחסי 0.55° מול 0.60°, פיגור 38.3 דקות מול 39. עבור שיא אשדוד של 20 בספטמבר 1990: ARCV 5.93° מול 5.90°, אזימוט יחסי 18.41° מול 18.40°, פיגור 28.6 דקות מול 29. זוויות עד כדי שבע מאיות המעלה, פיגור עד כדי 40 שניות, בקווי רוחב ובתאריכים שהתסריט מעולם לא כוונן עליהם. [מחושב מול מספריו המפורסמים של ICOP, הנלקחים מן המקור ההוא ולא מדוחות התצפית עצמם]

⚠⚠ הקריטריון של Yallop אינו עומד במבחן, והתוצאה נופלת על הנספח הזה. תצפית טנסי — הסהר הצעיר ביותר הרשום שנראה בעין בלתי מזוינת — מחושבת ל־q = −0.32 על זוויותיו של התסריט ו־−0.335 על אלה של ICOP. זהו אזור F: מתחת לגבול דנז'ון, בלתי נראה. הקריטריון דוחה תצפית שנעשתה. שיא אשדוד, לעומת זאת, נוחת באזור C, שם מקומו.

פסק דין של אזור F אינו אפוא שלילה אמינה, ואל לו לנספח הזה להשתמש בו ככזאת. ההבחנה החשובה היא המרחק מן הגבול. ערב 10 באפריל 31 לספירה מחושב ל־q = −1.08 — יותר מפי שלושה מתחת לסף משיא טנסי — ואותו פסק דין עומד. ערב 12 במרץ 31 לספירה, ב־−0.313, יושב למעשה על ערכו של טנסי, והוא אינו עומד. בערב ההוא אין אות האזור מכריעה דבר: סהר בערך כזה כבר נראה.

כאן מאשר הכיול שיפוט שנעשה קודם לכן על יסודות אחרים. פרק 7 אינו נשען על 12 במרץ: הוא מכנה את הערב ההוא מקרה גבול ומוסיף שאין למקרה הגבול חשיבות, שכן שתי התוצאות מובילות 30 יום הלאה לאותו 1 בניסן של 12 באפריל, ומשום שמכסת 30 הימים רצה מאדר ב׳ המתחיל ב־13 או ב־14 במרץ. השרשרת נבנתה כך שלא תזדקק ל־F, והכיול מראה מדוע היה זה נכון. מה שהכיול מסלק היא רק הטענה החזקה יותר — ש־12 במרץ ניתן לשלילה — ובה לא השתמש הטיעון מעולם. [מחושב]

שלוש רשומות הן קצוות, לא ולידציה: הן מכיילות את הגבול, לא את האמצע, ו־ICOP מעיר שהצופים הם מומחים היודעים היכן ומתי להביט. אמינותה של תצפית טנסי עצמה לא נשקלה כאן. המבקש להניח את התצפית ההיא בצד, מסלק עימה את ההשגה הזאת — אך זה תובע נימוק, לא נוחות.