De sikkelcriteria en de Babylonische reproductie

Deze bijlage sluit de twee punten die bijlage A openliet: het criterium voor de zichtbaarheid van de eerste maansikkel is hier van de grond af opgebouwd en toegepast, en de Babylonische eerste-Nisan-regel (Parker & Dubberstein) is aan haar eigen anker nagerekend. Zij maakt de smalste schakel van het boek — welke avond draagt de eerste sikkel, en dus welke dag is 1 Nisan — zo hard als de sterrenkunde haar maken kan. Alle getallen zijn met een klein Python-script (Python 3 met de ephem-bibliotheek) te reproduceren.

C.0 · Het zichtbaarheidscriterium, en waarom het nodig is

De hele kalender hangt aan één waarneming: op welke avond wordt de jonge sikkel voor het eerst met het blote oog gezien? Die avond begint 1 NisanNisanEerste maand van de Hebreeuwse religieuze kalender (vroege voorjaar). Pesach valt op 14 Nisan; de kruisiging viel op 14 Nisan in AD 31 (gewogen).; 13 dagen later valt 14 Nisan, de sterfdag. Het boek beweert (H7) dat de sikkel van 11 april AD 31 "ruim boven elke gepubliceerde drempel" ligt. Deze bijlage toetst dat, niet met een vuistregel maar met het meest geciteerde moderne model.

Het model. B. D. Yallop bracht in 1997 (A method for predicting the first sighting of the new crescent moon, HM Nautical Almanac Office, NAO Technical Note 69) de oudere criteria van Fotheringham, Maunder, Schoch en Bruin samen in één toetsbare grootheid, q, berekend op het "beste ogenblik" — het tijdstip op de weg tussen zonsondergang en maansondergang waar de kans op waarneming het grootst is (zonsondergang plus vier negende van de tijd tussen zons- en maansondergang). De grootheid combineert twee hoeken en de breedte van de sikkel:

- ARCV — de hoogte van de maan boven de zon (de "boog van zicht"); - ARCL — de hoek maan–zon aan de hemel (de "boog van licht", die de fase bepaalt); - W — de breedte van de verlichte sikkel in boogminuten, W = s·(1 − cos ARCL) met s de schijnbare halve middellijn van de maan;

samengevat als q = [ARCV − (11,8371 − 6,3226 W + 0,7319 W² − 0,1018 W³)] / 10.

De zones van Yallop. q > +0,216: sikkel makkelijk met het blote oog zichtbaar (A). +0,216 tot −0,014: zichtbaar onder gunstige omstandigheden (B). −0,014 tot −0,160: grensgebied, mogelijk optisch hulpmiddel nodig (C). Lager: onwaarschijnlijk tot onmogelijk zonder telescoop (D–F). Een 1 Nisan die op een zone-A-avond begint, is zo hard als een oude waarneming worden kan.

Gereedschap en plaats. De maan- en zonposities zijn topocentrisch berekend voor Jeruzalem (31,78° N, 35,24° O, 754 m) met PyEphem, dezelfde bibliotheek als bijlage A. De data staan proleptisch-Juliaans. [BEREKEND]

C.1 · De beslissende sikkel: de twee avonden van april AD 31

De maartmaan van AD 31 (conjunctie 11 maart) valt 11 dagen vóór de equinox (gemeten aan de conjunctie; haar eerste sikkel ~negen dagen) en is als Nisan-maan te vroeg (H8); Nisan schuift naar de volgende lunatie, met conjunctie op 10 april, rond het midden van de dag. De vraag is dan smal: op welke avond staat haar sikkel voor het eerst zichtbaar? [BEREKEND]

De avond van 10 april is uitgesloten — de sikkel is dan nog geen vijf uur oud, staat op de horizon en gaat vier minuten na de zon onder: onwaarneembaar. De avond van 11 april draagt een sikkel van bijna 30 uur, ruim 11 graden hoog, die een vol uur na de zon ondergaat, met q = +0,32 — diep in zone A. De sprong tussen de twee avonden is enorm; er is geen twijfel welke avond de eerste is. Dus: 1 Nisan begint op de avond van 11 april, 14 Nisan valt op woensdag 25 april. Dit is de sterrenkundige kern van het boek, hier onafhankelijk nagerekend — geen vuistregel, maar een model dat de sikkel ruim in de makkelijkst-zichtbare klasse plaatst.

C.2 · De drie racejaren aan de drempel

Zet de eerste-sikkel-avonden van de drie kandidaten naast elkaar. De zwakte van een kalenderberekening zit altijd in de grensgevallen — jaren waarin de sikkel op de rand van zichtbaarheid staat, zodat één dag heen of weer de hele maand verschuift. [BEREKEND]

En deze bijlage hoeft niet alleen op zichzelf te staan, want er is een onafhankelijke tweede berekening en zij is van de andere kant van het debat. Bradley Schaefer, destijds aan het Goddard Space Flight Center, berekende in QJRAS 31 (1990) de zichtbaarheid van elke jonge sikkel boven Jeruzalem voor AD 26–36 met zijn eigen helderheidsmodel — andere ephemeriden (Tuckerman-interpolatie), een ander beoordelingstijdstip (40 minuten ná zonsondergang in plaats van Bruins 4/9 × lag), en een andere maat. Zijn maat is R: de logaritme van de verhouding tussen de helderheid van de maan en de helderheid die minimaal nodig is om haar tegen de schemerhemel te onderscheiden. R = 0 betekent 50 procent kans op waarneming; negatief betekent een voorspelling van onzichtbaarheid; R < 1 heet bij hem "difficult to spot" en R > 2 "easy visibility" (p. 58). En hij geeft er een betrouwbaarheidsmaat bij: DR, ongeveer één sigma, met de regel dat zijn criterium bij |R/DR| > 2,5 "correct predictions for all 201 observations" gaf.

13 avonden zijn zo naast elkaar gelegd, en er is er geen waar de twee schalen elkaar tegenspreken. Sterker: zij rangschikken ook de twijfel op dezelfde plaatsen. De twee avonden die Schaefer uitdrukkelijk "not certain" noemt — 23 maart 30 en 30 maart 32 — vallen hier allebei in zone C, het grensgebied; zijn enige "difficult én onzeker" (18 april 33) valt in zone B; zijn onzichtbare avonden in zone F; zijn "easy" in zone A. [BEREKEND en GEDOCUMENTEERD — Schaefer (1990), tabel I op p. 57 en de definities op p. 58, primair gelezen op paginabeeld]

⛔ En één zin van Schaefer hoort in deze bijlage omdat zij haar eigen grens herhaalt. Hij drukt per jaar de eerste vier zonnemaanden af, en hij zegt waarom: "because it is not clear which lunation was identified as Nisan, because of uncertainties in the equinox and intercalations" (p. 58). Dat is precies de begrenzing die C.2 hieronder zelf stelt: de sikkel zegt wanneer, de kalenderregel zegt welke. De onafhankelijke tweede rekenmeester komt op dezelfde beperking uit.

Twee dingen blijken. Ten eerste: AD 31 staat het verst van elke rand. Haar sikkel is niet grenszichtbaar maar ruim zichtbaar (zone A), en de avond ervoor is volstrekt onzichtbaar (zone F) — de ±1-dag-wobbel die de astronomen bij grensgevallen erkennen, raakt AD 31 niet. Ten tweede — en dit hoort er eerlijk bij: het zichtbaarheidsmodel beslist niet wélke lunatie Nisan is, alleen wanneer elke sikkel voor het eerst verschijnt. Dat AD 33 een ruim-zichtbare maartsikkel heeft (20 maart, zone A) maakt de zaak juist scherp: onder een regel die de maartmaan toelaat, valt 14 Nisan AD 33 op ~3 april (de consensus-"Goede Vrijdag"); onder een regel die haar afwijst omdat 1 Nisan vóór de equinox valt, schuift Nisan naar de aprilmaan en valt 14 Nisan op ~2 mei (H8, H15). De sikkel zegt wanneer; de kalenderregel zegt welke — en die regel, niet deze bijlage, is de smalste schakel.

C.3 · De Babylonische regel, nagerekend aan haar eigen anker

De joodse maandnamen zijn Babylonisch, en de Babylonische kalender hield 1 Nisanu ná de lente-equinox — een regel die Parker & Dubberstein (Babylonian Chronology 626 B.C.–A.D. 45) voor deze eeuwen volledig gereconstrueerd hebben, en die Sacha Stern uit hun tabellen citeert (Calendar and Community, pp. 61–62). Die regel is toetsbaar aan één gedateerd ijkpunt: het voorjaarsfeest waarbij Vitellius in AD 37 in Jeruzalem is (Antiquitates 18.89–90, 120–124). Precies zijn hier verplicht, want het is gemakkelijk te veel te zeggen. Josephus dateert dat feest op géén kalenderdag; wat hij levert is dat het in ápril viel en niet in maart — de reistijd van het doodsbericht van Tiberius laat maart niet toe. De 19 april komt van Parker & Dubberstein, niet van Josephus. En dat het feest het Pascha was, is een duiding: Josephus schrijft ἑορτῆς πατρίου, "het feest van de vaderen". [GEDUID] [GEDOCUMENTEERD, Parker & Dubberstein; BEREKEND, de reproductie] De Babylonische regel is één van twee gedocumenteerde praktijken: in Egypte, van Aristobulus tot Philo, viel het joodse Pascha op of rond de equinox, gemiddeld een maand eerder (Stern, ZPE 130, 2000, p. 171 n. 69). Deze reproductie toetst de Babylonische regel; welke praktijk Jeruzalem hield, beslist zij niet (H8).

Parker & Dubberstein geven Nisanu 1 van AD 37 op 6 april (hun tabel, p. 46). De onafhankelijke narekening bevestigt dat tot op de dag: de aprilconjunctie van AD 37 valt op 4 april, haar eerste zichtbare sikkel op de avond van 5 april, zodat 1 Nisanu op 6 april begint — precies Parker & Dubbersteins datum. 13 dagen verder valt 14 Nisan op 19 april, en dat is exact de dag waarop Josephus' gedateerde feest uitkomt. De regel doorstaat dus de controle aan zowel de Babylonische tabel als het antieke ijkpunt. Maar dat is een noodzakelijke controle en geen onderscheidend argument, en het boek mag hier niet meer van maken dan het is: óók de soepeler equinox-regel en óók Lansers verschoven reeks komen voor AD 37 op diezelfde 19 april uit (H8). Het anker bevestigt dat een laat-april-Pascha mogelijk was; het kiest niet tussen de reconstructies.

Toegepast op de drie racejaren geeft dezelfde regel (samengevat uit bijlage A.3):

Onder deze regel houdt AD 30 haar vrijdag, komt AD 31 op woensdag 25 april uit, en verliest AD 33 haar "Goede Vrijdag" — die alleen onder de soepeler equinox-regel overleeft. Twee eerlijkheden horen erbij en zij snijden allebei naar deze kant. Ten eerste ontleent de regel haar gezag niet aan het anker van AD 37, want dat anker onderscheidt niet (zie boven); zij ontleent het aan de eerste-eeuwse Judese gegevens die H8 uitmeet — schaars, en tegenover een gedocumenteerde Egyptische tegenpraktijk, zodat de regel voor Jeruzalem een aanname blijft (hierboven; bijlage D). Ten tweede kent AD 31 onder de ándere antieke regel — die van de ouden, die alleen het féést ná de equinox eist — een tweede uitkomst: dan blijft de maartmaan staan en valt 14 Nisan op dinsdag 27 maart. Ook dat is geen vrijdag, en dáár zit de asymmetrie met AD 33: bij AD 33 beslist de regelkeuze óf er een vrijdag is, bij AD 31 alleen wélke midweekse dag het wordt (H8, H15).

C.4 · Wat deze bijlage niet levert

- Het model is statistisch, geen garantie. Yallops zones zijn geijkt op honderden waarnemingen, maar de atmosfeer op één avond in het jaar 31 is onkenbaar. Wat de berekening levert is niet "de sikkel ís gezien" maar "de sikkel lag ver binnen de klasse die vrijwel altijd gezien wordt" — en de avond ervoor ver buiten haar. Voor AD 31 is die marge zo groot dat geen redelijke atmosfeer haar omkeert; voor de echte grensjaren (AD 30 aan de rand) is dat voorbehoud reëel. En voor AD 31 ligt er achter de eerste lijn een tweede, die aan geen zichtbaarheidsmodel iets ontleent: het dertigdagen-plafond op een maand (H7). Bewolking op 11 april, en op 12 april erbij, verschuift 14 Nisan hoogstens naar donderdag 26 april — voor een vrijdag zou een Adar IIAdar IIDe schrikkelmaand die af en toe door de Joodse geestelijke autoriteiten werd toegevoegd om de maankalender synchroon te houden met het zonne-landbouwjaar. Een toevoeging van Adar II in 31 n.Chr. duwt het Pascha naar eind april, waardoor de kruisiging op een woensdag kan vallen en de opstanding drie dagen en drie nachten later, in vervulling van Mattheüs 12:40. Die schrikkelmaand is niet gedocumenteerd: de smalste schakel van het anker (betwist). van 31 dagen nodig zijn. [BEREKEND] - De sikkel beslist de maand niet. Zoals C.2 zegt: welke lunatie Nisan draagt, hangt aan de equinox- en gerstregel (H8), niet aan de zichtbaarheid alleen. Deze bijlage hardt de éne helft (wanneer de sikkel verschijnt); de andere helft blijft een gedocumenteerde kalenderregel, geen meting. - Parker & Dubbersteins tabel is hier niet overgenomen. Zij is voor 200 v.Chr.–AD 45 integraal doorgenomen in de machineleesbare editie (bijlage A.6); het ijkpunt (Nisanu 1 AD 37 = 6 april) is daarnaast nagerekend en klopt — een geslaagde noodzakelijke controle, geen zelfstandige grond vóór de regel. - De topocentrische correcties zijn standaard, niet verfijnd. Hoogte, refractie bij de horizon en de halve middellijn van de maan zijn met de standaardwaarden van de bibliotheek gerekend; een verfijnder horizonmodel verschuift q met honderdsten, niet met tienden — te weinig om AD 31 uit zone A te tillen.

Reproductie. Het script heet `yallop_q.py` (Python 3 met de ephem-bibliotheek, versie 4.2.1). Het berekent voor elke avond de conjunctie, zonsondergang, maansondergang, lag, beste ogenblik, ARCL, ARCV, W, q en de zone, en het draagt een `--verify`-vlag die zijn uitvoer tegen 14 in deze bijlage gedrukte cijfers zet: de q, maanhoogte, ARCL, lag en zone van 11 april AD 31; de q, lag en zone van 10 april; de zone en lag van 13 maart; de q van 23 maart AD 30 en 20 maart AD 33; en het anker Nisanu 1 AD 37 = 6 april, in de vorm 4 april zone F, 5 april zone A. Alle 14 worden gereproduceerd.

⚠ Eén voorbehoud bij de conventie, en het hoort hier en niet in een voetnoot. Yallops formule laat zich uitrekenen met ARCV en ARCL elk geocentrisch of topocentrisch genomen, en de vier combinaties geven voor 11 april AD 31 q = +0,317, +0,287, +0,408 en +0,377. De cijfers van deze bijlage volgen de eerste: ARCV topocentrisch, ARCL geocentrisch. Die combinatie is de enige die alle drie de gedrukte grootheden tegelijk sluit — q = 0,32, ARCL = 13,7 en een maanhoogte van 11,4°. Zij is uit die overeenstemming vastgesteld, niet uit Yallops eigen tekst, die niet primair is ingezien. De reproductie is dus een interne consistentiecontrole: zij toont dat het script doet wat deze bijlage deed, niet dat een van beide is wat Yallop bedoelde. [BEREKEND; de conventie GEDUID uit de overeenstemming met de gedrukte cijfers]

Datzelfde voorbehoud draagt een gevolg dat genoemd moet worden. Op de avond van 12 maart AD 31 geeft de conventie van deze bijlage q = −0,313, zone F; de twee geocentrische varianten geven −0,219 (zone D) en −0,240 (zone E). Eerdere uitwerkingen van dit materiaal citeerden de geocentrische cijfers. Onder de conventie die de bijlage feitelijk gebruikt, valt 12 maart in zone F. De ingetrokken cijfers staan in het script vastgelegd, zodat zij zichtbaar blijven.

De ijking, en wat zij deze bijlage kost

Gedrukte cijfers reproduceren toont alleen dat een script doet wat de bijlage deed. Daarom is de rekenkern losgelaten op waarnemingen die hij nooit had gezien: de drie wereldrecords voor sikkelwaarneming met het blote oog die het International Astronomical Center bijhoudt, dat van elk de plaats, de conjunctie, de lag en zijn eigen ARCV, ARCL en relatief azimut publiceert.

De kern slaagt. Voor het record van Tennessee, 25 februari 1990, geeft het script ARCV 7,53° tegen de gepubliceerde 7,60°, relatief azimut 0,55° tegen 0,60°, lag 38,3 minuten tegen 39. Voor het record van Asjdod, 20 september 1990: ARCV 5,93° tegen 5,90°, relatief azimut 18,41° tegen 18,40°, lag 28,6 minuten tegen 29. Hoeken tot op zeven honderdsten van een graad, lag tot op 40 seconden, op breedten en data waarop het script nooit is afgestemd. [BEREKEND tegen de gepubliceerde cijfers van ICOP, die uit die bron komen en niet uit de waarnemingsverslagen zelf]

⚠⚠ Yallops criterium slaagt niet, en het gevolg valt op deze bijlage. De waarneming van Tennessee — de jongste sikkel die ooit met het blote oog is gezien — komt op de hoeken van het script uit op q = −0,32 en op die van ICOP zelf op −0,335. Dat is zone F: onder de Danjon-limiet, niet zichtbaar. Het criterium verwerpt een waarneming die is gedaan. Het record van Asjdod komt daarentegen in zone C uit, waar het hoort.

Een zone-F-uitspraak is dus geen betrouwbaar negatief, en deze bijlage mag haar niet als zodanig gebruiken. Het onderscheid dat telt, is de afstand tot de grens. De avond van 10 april AD 31 komt uit op q = −1,08 — ruim drie keer zo ver onder de drempel als het record van Tennessee — en dat oordeel houdt. De avond van 12 maart AD 31, op −0,313, ligt vrijwel op de Tennessee-waarde, en dat oordeel houdt niet. Op die avond beslist de zoneletter niets: een sikkel op die waarde ís gezien.

Hier bevestigt de ijking een oordeel dat eerder op andere gronden is geveld. Hoofdstuk 7 rust niet op 12 maart: het noemt die avond een grensgeval en voegt eraan toe dat de grens niet uitmaakt, omdat beide uitkomsten 30 dagen later op dezelfde 1 Nisan van 12 april uitkomen, en omdat het dertigdagen-plafond loopt vanaf een Adar II die op 13 óf 14 maart begint. De keten is zo gebouwd dat zij de F niet nodig had, en de ijking laat zien waarom dat juist was. Wat de ijking wegneemt, is alleen de sterkere claim — dat 12 maart uit te sluiten valt — en die heeft het betoog nooit gebruikt. [BEREKEND]

Drie records zijn extremen, geen validatie: zij ijken de grens, niet het midden, en ICOP tekent zelf aan dat het om waarnemers gaat die weten waar en wanneer zij moeten kijken. De betrouwbaarheid van de Tennessee-waarneming zelf is hier niet getoetst. Wie die waarneming terzijde wil schuiven, schuift dit bezwaar mee weg — maar dat vraagt een reden, geen gemak.